Théorème des valeurs extrêmes

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Théorème

théorème des valeurs extrêmes :
Si \(f:[a,b]\to\Bbb R\) est une fonction continue sur un segment
Alors il existe deux réels \(m\) et \(M\) tels que $$f([a,b])=[m,M]$$
\(m\) est le minimum de la fonction sur l'intervalle et \(M\) est le maximum de la fonction sur l'intervalle

(Continuité)

Théorème des valeurs extrêmes :
Si \(f:C\to{\Bbb R}\) avec \(C\) un compact est continue, alors \(f\) est bornée et atteint ses bornes

(Compact, Continuité, Fonction bornée)

Exercices

Consigne: Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\)
On note \(B=\{X\in{\Bbb R}^n\mid\lVert X\rVert\leqslant1\}\)
On considère l'application \(F\) de \({\Bbb R}^n\) vers \({\Bbb R}\) définie par : $$\forall X\in{\Bbb R}^n,F(X)=\underset{i\ne j}{\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}}x_ix_j$$
Montrer que \(F\) possède un maximum sur \(B\)

Application directe du théorème des bornes atteintes

\(B\) est une boule fermée de dimension finie, donc c'est un fermé borné en dimension finie, donc compact, non vide
De plus, la fonction \(F\) est continue sur \(B\) et polynomiale sur \({\Bbb R}^n\)
D'après le théorème des bornes atteintes, \(F\) possède un maximum sur \(B\)